¿Cuántos ángulos agudos interiores puede tener un polígono convexo?

Si tratamos de trazar un polígono con regla y compás podemos comprobar que es difícil obtener un polígono convexo con más de 3 ángulos agudos interiores, en cuyo caso, la figura poligonal tiende a ser cóncava. La figura muestra la caracterización de polígono convexo y cóncavo (todos sus ángulos interiores son menores 180º, convexo, o si algún ángulo interior supera 180º, cóncavo).

Pero es necesario emplear explicaciones más rigurosas para mostrar que un polígono con más de 3 ángulos interiores agudos necesariamente es cóncavo, es decir, presenta un ángulo interior mayor de 180º.

Demostración

Partimos de que si tenemos un polígono de N>5 lados, la suma de los N ángulos interiores es (N-2)180º (demostración sencilla).

Por tanto, si A1,..., AN son los N ángulos de un polígono, fijamos la hipótesis de que al menos 4 ángulos interiores son agudos, por tanto, fijamos por arbitrariedad A1, A2, A3 y A4 como ángulos agudos (valor inferior a 90º). Veamos lo que ocurre con la suma de A5,...,AN. A partir de la igualdad A1+...+AN=(N-2)180º, deducimos que A5+...+AN= (N-2)180- (A1+A2+A3+A4). Ahora como A1,..., A4 son agudos su suma es inferior a 4*90º, es decir, 2*180º, por tanto:

A5+...+AN > (N-2)180-2*180= (N-4)180.

Ahora como estamos comparando una suma con igual número de sumandos (N-4) con una suma repetida de igual número de sumandos, podemos deducir que al menos existe un valor Ai que es superior a 180, es decir, que el polígono es necesariamente cóncavo para más de 5 lados.

NOTA: Podemos deducir que el único polígono convexo con todos sus ángulos agudos ha de ser necesariamente triangular. No hay cuadriláteros con todos sus ángulos agudos y que un cuadrilátero tiene o todos sus ángulos rectos o al menos un ángulo obtuso.

Battle of Pirates

Las estadísticas engañosas de tráfico

El 24 % de los fallecidos usuarios de turismo no utilizaban el cinturón de seguridad en las vías interurbanas y este porcentaje aumentaba al 32 % en las vías urbanas. Fuente: DGT.

Comentarios ingenuos:

Con esa estadística el 76% y 68% de los fallecidos murieron con el cinturón puesto, ¡manos a la cabeza! 76% de los fallecidos lo llevaban puesto, menuda eficacia.

Comentarios reflexivos bien justificados:

Si se mira una tabla que hay en la DGT, de los 10137 siniestros (graves y fallecidos) se tiene que 1275 no llevaban cinturón, frente a los 8862 que llevaban cinturón, eso aún no dice nada. Ahora veamos cuantos fallecidos hay entre los 8862 que usaban cinturón y cuales entre los 1275 que no lo llevaban.

667 fallecidos con cinturón/8862 con cinturón= (7.52 %)
215 fallecidos sin cinturón/1275 sin cinturón=(16'8 %)

A partir de estos porcentajes si se puede comparar la eficacia del cinturón, que te salva la vida en el casi 92% de los accidentes, mientras que la posibilidad de salvar la vida sin cinturón es de 83%.

Si bien, convendría plantear, ya que cada accidente tiene características singulares, estudio retrospectivo sobre si un fallecido empleando el cinturón de seguridad no habría fallecido en caso de no llevarlo. Cuáles de los fallecidos con cinturón de seguridad no hubieran fallecido sin llevarlo.

Paradojas con el tangram

¿ Qué hay de extraño en este puzzle?
Como podéis ver puedo colocar todas menos una y el hueco que queda no tiene el mismo área por lo tanto da la sensación de que es imposible completarlo, pero en el dibujo de la derecha esa figura encaja perfectamente en el hueco sobrante. Todas las piezas de los dos dibujos son iguales.

O los ojos engañan o hay que modificar la teoría de la medida.

Quién pueda que realice el puzzle completo para resolver la paradoja de otra forma a la explicada.

Música ambiente

Cita del día

"Me lo contaron y lo olvidé; lo vi y lo entendí; lo hice y lo aprendí." ( Confucio)
"Las palabras se las lleva el viento,lo escrito queda"
"Tended a ser un poco aprendices de todo, para vuestro bien, y al menos, maestros en algo, para bien de los demás"(Julio Rey Pastor,matemático)

Actividades con JClic