Teorema de Pitágoras Generalizado

Te presentamos un triángulo rectángulo ABC. Vamos a comprobar si el teorema de Pitágoras es cierto para una clase amplia de figuras. Para ello sigue los siguientes pasos:

1. Sobre el lado AB dibuja un polígono, el que quieras. 
2. Sobre la barra de herramientas pincha en el icono "llave inglesa" y selecciona la herramienta "proyección en cateto"
3. Una vez seleccionada tienes que pinchar los siguientes puntos en este orden: A-B-C-"Vértice de tu polígono a proyectar" y automáticamente te saldrá el vértice homólogo sobre el cateto AC. 
4. Realiza este paso con todos los vértices de tu polígono. 
5. Traza el polígono resultante de unir todos los vértices homólogos. 
6. Realiza mediante la herramienta "Proyección en hipotenusa" (accesible mediante el paso 2) para proyectar tu polígono inicial sobre la hipotenusa. 
7. Una vez que tengas trazados los tres polígonos. Fíjate en las áreas de los polígonos que están expresadas en la barra lateral y comprueba la relación pitagórica.   

¿Qué relaciones se establecen entre las áreas de tales polígonos para triángulos acutángulos y obtusángulos? Las herramientas proyección funcionan para cualquier triángulo, por lo que puedes comprobarlo.

Regla de la cadena. Demostración rigurosa

¿Cuántos ángulos agudos interiores puede tener un polígono convexo?

Si tratamos de trazar un polígono con regla y compás podemos comprobar que es difícil obtener un polígono convexo con más de 3 ángulos agudos interiores, en cuyo caso, la figura poligonal tiende a ser cóncava. La figura muestra la caracterización de polígono convexo y cóncavo (todos sus ángulos interiores son menores 180º, convexo, o si algún ángulo interior supera 180º, cóncavo).

Pero es necesario emplear explicaciones más rigurosas para mostrar que un polígono con más de 3 ángulos interiores agudos necesariamente es cóncavo, es decir, presenta un ángulo interior mayor de 180º.

Demostración

Partimos de que si tenemos un polígono de N>5 lados, la suma de los N ángulos interiores es (N-2)180º (demostración sencilla).

Por tanto, si A1,..., AN son los N ángulos de un polígono, fijamos la hipótesis de que al menos 4 ángulos interiores son agudos, por tanto, fijamos por arbitrariedad A1, A2, A3 y A4 como ángulos agudos (valor inferior a 90º). Veamos lo que ocurre con la suma de A5,...,AN. A partir de la igualdad A1+...+AN=(N-2)180º, deducimos que A5+...+AN= (N-2)180- (A1+A2+A3+A4). Ahora como A1,..., A4 son agudos su suma es inferior a 4*90º, es decir, 2*180º, por tanto:

A5+...+AN > (N-2)180-2*180= (N-4)180.

Ahora como estamos comparando una suma con igual número de sumandos (N-4) con una suma repetida de igual número de sumandos, podemos deducir que al menos existe un valor Ai que es superior a 180, es decir, que el polígono es necesariamente cóncavo para más de 5 lados.

NOTA: Podemos deducir que el único polígono convexo con todos sus ángulos agudos ha de ser necesariamente triangular. No hay cuadriláteros con todos sus ángulos agudos y que un cuadrilátero tiene o todos sus ángulos rectos o al menos un ángulo obtuso.

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