¿Cuántos ángulos agudos interiores puede tener un polígono convexo?

Si tratamos de trazar un polígono con regla y compás podemos comprobar que es difícil obtener un polígono convexo con más de 3 ángulos agudos interiores, en cuyo caso, la figura poligonal tiende a ser cóncava. La figura muestra la caracterización de polígono convexo y cóncavo (todos sus ángulos interiores son menores 180º, convexo, o si algún ángulo interior supera 180º, cóncavo).

Pero es necesario emplear explicaciones más rigurosas para mostrar que un polígono con más de 3 ángulos interiores agudos necesariamente es cóncavo, es decir, presenta un ángulo interior mayor de 180º.

Demostración

Partimos de que si tenemos un polígono de N>5 lados, la suma de los N ángulos interiores es (N-2)180º (demostración sencilla).

Por tanto, si A1,..., AN son los N ángulos de un polígono, fijamos la hipótesis de que al menos 4 ángulos interiores son agudos, por tanto, fijamos por arbitrariedad A1, A2, A3 y A4 como ángulos agudos (valor inferior a 90º). Veamos lo que ocurre con la suma de A5,...,AN. A partir de la igualdad A1+...+AN=(N-2)180º, deducimos que A5+...+AN= (N-2)180- (A1+A2+A3+A4). Ahora como A1,..., A4 son agudos su suma es inferior a 4*90º, es decir, 2*180º, por tanto:

A5+...+AN > (N-2)180-2*180= (N-4)180.

Ahora como estamos comparando una suma con igual número de sumandos (N-4) con una suma repetida de igual número de sumandos, podemos deducir que al menos existe un valor Ai que es superior a 180, es decir, que el polígono es necesariamente cóncavo para más de 5 lados.

NOTA: Podemos deducir que el único polígono convexo con todos sus ángulos agudos ha de ser necesariamente triangular. No hay cuadriláteros con todos sus ángulos agudos y que un cuadrilátero tiene o todos sus ángulos rectos o al menos un ángulo obtuso.